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 2017年上海市春季高考数学试卷

 一.填空题(本大题共12题,满分48分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)

1.设集合A={1,2,3},集合B={3,4},则A∪B=  

2.不等式|x﹣1|<3的解集为  

3.若复数z满足21=3+6i(i是虚数单位),则z=  

4.若,则=  

5.若关于x、y的方程组无解,则实数a=  

6.若等差数列{an}的前5项的和为25,则a1+a5=  

7.若P、Q是圆x2+y22x+4y+4=0上的动点,则|PQ|的最大值为  

8.已知数列{an}的通项公式为,则=  

9.若的二项展开式的各项系数之和为729,则该展开式中常数项的值为  

10.设椭圆的左、右焦点分别为F1F2,点P在该椭圆上,则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是  

11.设a1a2…、a61、2、3、4、5、6的一个排列,则满足|a1a2|+|a3a4|+|a5a6|=3的不同排列的个数为  

12.设a、b∈R,若函数在区间(1,2)上有两个不同的零点,则f(1)的取值范围为  

 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)

13.函数f(x)=(x﹣1)2的单调递增区间是(  )

A.[0,+∞) B.[1,+∞) C.(﹣∞,0] D.(﹣∞,1]

14.设a∈R,“a>0”是“”的(  )条件.

A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分也非必要

15.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中,不可能的图形是(  )

A.三角形 B.长方形C.对角线不相等的菱形 D.六边形

16.如图所示,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2,若P为该正八边形边上的动点,则的取值范围为(  )

 

A. B.

C D.

 

.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)

17.(12分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3;

1)求四棱锥A1ABCD的体积;(2)求异面直线A1C与DD1所成角的大小.

 

18.(12分)设a∈R,函数;(1)求a的值,使得f(x)为奇函数;(2)若对任意x∈R成立,求a的取值范围.

19.(12分)某景区欲建造两条圆形观景步道M1M2(宽度忽略不计),如图所示,已知AB⊥AC,AB=AC=AD=60(单位:米),要求圆M1AB、AD分别相切于点B、D,圆M2AC、AD分别相切于点C、D;

1)若∠BAD=60°,求圆M1M2的半径(结果精确到0.1米)

2)若观景步道M1M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元,如何设计圆M1M2的大小,使总造价最低?最低总造价是多少?(结果精确到0.1千元)

 

20.(12分)已知双曲线b>0),直线l:y=kx+m(km≠0),l与Γ交于P、Q两点,P'为P关于y轴的对称点,直线P'Q与y轴交于点N(0,n);(1)若点(2,0)是Γ的一个焦点,求Γ的渐近线方程;

2)若b=1,点P的坐标为(﹣1,0),且,求k的值;

3)若m=2,求n关于b的表达式.

21.(12分)已知函数f(x)=log2;(1)解方程f(x)=1;

2)设x∈(﹣1,1),a∈(1,+∞),证明:∈(﹣1,1),且f()﹣f(x)=﹣f();(3)设数列{xn}中,x1∈(﹣1,1),xn+1=(﹣1)n+1n∈N*,求x1的取值范围,使得x3≥xn对任意n∈N*成立.

 


2017年上海市春季高考数学试卷

参考答案与试题解析

 

.填空题(本大题共12题,满分48分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)

1.设集合A={1,2,3},集合B={3,4},则A∪B= {1,2,3,4} 

2.不等式|x﹣1|<3的解集为 (﹣2,4) 

3.若复数z满足21=3+6i(i是虚数单位),则z= 2﹣3i 

4.若,则=  

5.若关于x、y的方程组无解,则实数a= 6 

6.若等差数列{an}的前5项的和为25,则a1+a5= 10 

7.若P、Q是圆x2+y22x+4y+4=0上的动点,则|PQ|的最大值为 2 

8.已知数列{an}的通项公式为,则=  

9.若的二项展开式的各项系数之和为729,则该展开式中常数项的值为 160 

10.设椭圆的左、右焦点分别为F1F2,点P在该椭圆上,则使得△F1F2P是等腰三角形的点P的个数是 6 

11.设a1a2…、a61、2、3、4、5、6的一个排列,则满足|a1a2|+|a3a4|+|a5a6|=3的不同排列的个数为 48 

12.设a、b∈R,若函数在区间(1,2)上有两个不同的零点,则f(1)的取值范围为 (0,1) 

解:函数在区间(1,2)上有两个不同的零点,

即方程x2+bx+a=0在区间(1,2)上两个不相等的实根,

如图画出数对(a,b)所表示的区域,目标函数z=f(1)═a+b+1

∴z的最小值为z=a+b+1过点(1,﹣2)时,z的最大值为z=a+b+1

过点(4,﹣4)时∴f(1)的取值范围为(0,1)

故答案为:(0,1)

 

.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)

13.函数f(x)=(x﹣1)2的单调递增区间是( B )

A.[0,+∞) B.[1,+∞) C.(﹣∞,0] D.(﹣∞,1]

14.设a∈R,“a>0”是“”的( C )条件.

A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分也非必要

15.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中,不可能的图形是( A )

A.三角形 B.长方形C.对角线不相等的菱形 D.六边形

16.如图所示,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为2,若P为该正八边形边上的动点,则的取值范围为( B )

 

A. B.

C. D.

解:由题意,正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8的每一个内角为135°,

再由正弦函数的单调性及值域可得,当P与A8重合时,最小为==

结合选项可得的取值范围为

 

.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)

17.(12分)长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3;

1)求四棱锥A1ABCD的体积;(2)求异面直线A1C与DD1所成角的大小.

 

解:(1)∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,

∴四棱锥A1ABCD的体积:

====4.

2)∵DD1∥CC1∴∠A1CC1是异面直线A1C与DD1所成角(或所成角的补角),

∵tan∠A1CC1===

=∴异面直线A1C与DD1所成角的大小为

 

18.(12分)设a∈R,函数;(1)求a的值,使得f(x)为奇函数;(2)若对任意x∈R成立,求a的取值范围.

解:(1)由f(x)的定义域为R,且f(x)为奇函数,可得f(0)=0,

即有=0,解得a=﹣1.

f(x)=f(﹣x)===﹣f(x),则a=﹣1满足题意;

2)对任意x∈R成立,

即为恒成立,等价为

即有2(a﹣1)<a(2x+1),

a=0时,﹣1<0恒成立;

a>0时,2x+1,

2x+1>1,可得≤1,解得0<a≤2;

a<0时,2x+1不恒成立.综上可得,a的取值范围是[0,2].

19.(12分)某景区欲建造两条圆形观景步道M1M2(宽度忽略不计),如图所示,已知AB⊥AC,AB=AC=AD=60(单位:米),要求圆M1AB、AD分别相切于点B、D,圆M2AC、AD分别相切于点C、D;

1)若∠BAD=60°,求圆M1M2的半径(结果精确到0.1米)

2)若观景步道M1M2的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元,如何设计圆M1M2的大小,使总造价最低?最低总造价是多少?(结果精确到0.1千元)

 

解:(1)M1半径=60tan30°≈34.6,M2半径=60tan15°≈16.1;

2)设∠BAD=2α,则总造价y=0.8•2π•60tanα+0.9•2π•60tan(45°﹣α),

1+tanα=x,则y=12π•(8x+17)≥84π,

当且仅当x=tanα=时,取等号,

∴M1半径30,M2半径20,造价42.0千元.

20.(12分)已知双曲线b>0),直线l:y=kx+m(km≠0),l与Γ交于P、Q两点,P'为P关于y轴的对称点,直线P'Q与y轴交于点N(0,n);(1)若点(2,0)是Γ的一个焦点,求Γ的渐近线方程;

2)若b=1,点P的坐标为(﹣1,0),且,求k的值;

3)若m=2,求n关于b的表达式.

解:(1)∵双曲线b>0),点(2,0)是Γ的一个焦点,

∴c=2,a=1,∴b2=c2a2=4﹣1=3,

∴Γ的标准方程为: =1,Γ的渐近线方程为

2)∵b=1,∴双曲线Γ为:x2y2=1,P(﹣1,0),P′(1,0),

=,设Q(x2y2),则有定比分点坐标公式,得:

,解得

=

3)设P(x1y1),Q(x2y2),kPQ=k0

,得(b2k2x24kx﹣4﹣b2=0,

,得(x22k0nx﹣n2b2=0,

x1+x2=,﹣x1x2=

∴x1x2==,即,即=

====

化简,得2n2+n(4+b2+2b2=0,∴n=﹣2或n=

n=﹣2,由=,得2b2=k2+k02

,得

Q(),代入x2=1,化简,得:

,解得b2=4或b2=kk0

b2=4时,满足n=

b2=kk0时,由2b2=k2+k02,得k=k0(舍去),综上,得n=

21.(12分)已知函数f(x)=log2

1)解方程f(x)=1;

2)设x∈(﹣1,1),a∈(1,+∞),证明:∈(﹣1,1),且f()﹣f(x)=﹣f();

3)设数列{xn}中,x1∈(﹣1,1),xn+1=(﹣1)n+1n∈N*,求x1的取值范围,使得x3≥xn对任意n∈N*成立.

解:(1)∵f(x)=log2=1,∴=2,解得

(2)g(x)=

     

∵a∈(1,+∞),∴g(x)在(﹣1,1)上是增函数,

g(﹣1)=g(1)==1,

∴﹣1<g(x)<1,即∈(﹣1,1).

∵f(x)﹣f(=log2log2=log2log2

=log2=log2

f(=log2=log2

∴f(=f(x)﹣f(),∴f()﹣f(x)=﹣f().

3)∵f(x)的定义域为(﹣1,1),

f(﹣x)=log2=﹣log2=﹣f(x),∴f(x)是奇函数.

∵xn+1=(﹣1)n+1∴xn+1=

①当n为奇数时,f(xn+1=f(=f(xn)﹣f(=f(xn)﹣1,

∴f(xn+1=f(xn)﹣1;

②当n为偶数时,f(xn+1=f(﹣=﹣f(=1﹣f(xn),

∴f(xn+1=1﹣f(xn).

∴f(x2=f(x1)﹣1,f(x3=1﹣f(x2=2﹣f(x1),

f(x4=f(x3)﹣1=1﹣f(x1),f(x5=1﹣f(x4=f(x1),

f(x6=f(x5)﹣1=f(x1)﹣1,…∴f(xn=f(xn+4),n∈N+

∴h(x)在(﹣1,1)上是增函数,

∴f(x)=log2=log2h(x)在(﹣1,1)上是增函数.

∵x3≥xn对任意n∈N*成立,∴f(x3≥f(xn)恒成立,

,即

解得:f(x1≤1,即log2≤1,∴0<≤2,解得:﹣1<x1

 

 

 

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